ၵၢၼ်ၵႆၵၢင် မၢတ်ႇတႃၼ် ၼႂ်းရူလႅတ်ႉ
ၵၢၼ်ၵႆၵၢင် မၢတ်ႇတႃၼ် ရူလႅတ်ႉ၊ ႁၢၵ်ႈ ၶွင် ၵၢၼ်ပိူင်ႈပႅၵ်ႇၵၢၼ်ၼပ်ႉၵၢၼ်ပိူင်ႈပႅၵ်ႇတူဝ်တႅၵ်ႈ ဝႃႈ ၽွၼ်း ၸၢႆး ႁွပ်ႈ ၵႃႈဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈ ၵႆ ၵႃႈႁိုဝ်။ သုင် တႃႇ တူဝ်လဵဝ်၊ တႅမ်ႇ တႃႇ ၵၢၼ်ဝၢင်းပၼ်ပဵင်းၵၼ်။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း →၊ ပဵၼ် တၢင်းၵႆ ထမ်ႇမတႃႇ ၼႂ်းၵႄႈ ၽွၼ်း လႄႈ ၵႃႈဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈ ၶွင်မၼ်း။
ၵူႈ $1 ဢၼ်ဝၢင်း σ ပဵၼ် 5.84 တႃႇ တူဝ်လဵဝ် လႄႈ 1.00 တႃႇ လႅင်။ ၵုၼ်ႇ ငိုၼ်းဝၢင်း လႄႈ ႁၢၵ်ႈ ၶွင် ၼပ်ႉ ပွၵ်ႈပၼ်ႇ တႃႇ ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ဢၼ်ၼိုင်ႈ။
ပိူင် ၸႂ်ႉငၢႆႈ
ၸမ် သွင်တွၼ်ႈ ၼႂ်း သၢမ်တွၼ်ႈ ၶွင် ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ယူႇ ၼႂ်း σ ၼိုင်ႈဢၼ် ၶွင် ၵႃႈဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈ လႄႈ 95% ယူႇ ၼႂ်း သွင်ဢၼ်။ တႃႇ 100 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ လႅင်ၵၢၼ်ဝၢင်းလႅင်ၵၢၼ်ဝၢင်းပၼ်ပဵင်းၵၼ် ၼိူဝ် တူဝ်ၼပ်ႉလႅင် 18 တူဝ်။ ၾရၢင်ႇသဵတ်ႈ: rouge။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → ပွၵ်ႈလႂ် $10 (ပႂ်ႉလႆႈ −$27၊ σ = $100) ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ၵမ်ႉၼမ် ယူႇ ၼႂ်းၵႄႈ −$127 လႄႈ +$73၊ လႄႈ ၸမ် တင်းမူတ်း ယူႇ ၼႂ်းၵႄႈ −$227 လႄႈ +$173။ ၽွၼ်း ဢၼ် ယူႇ ၼွၵ်ႈ ၶွပ်ႇ ၼၼ်ႉ ဢမ်ႇၸႂ်ႈ ၶေႃႈၸႅၵ်ႈ သင်၊ ၼွၵ်ႈသေ ဝႃႈ ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ၼိုင်ႈ ၼႂ်း သၢဝ်း ပဵၼ် ၸိူင်ႉၼၼ်။
ၵွပ်ႈသင် √N
ငိုၼ်းသုမ်းဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈၵၢၼ်ၼပ်ႉငိုၼ်းသုမ်းဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈၵႃႈဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈ ၵုၼ်ႇ ငိုၼ်းဝၢင်း တင်းမူတ်း၊ ငိုၼ်း ဢၼ်သုမ်း ၸွမ်းၵႃႈၵၢင် ၼႂ်း ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ဢမ်ႇၼၼ် ၶၢဝ်းယၢမ်း ဢၼ်ၼိုင်ႈ။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → ယႂ်ႇၶိုၼ်ႈ ၸွမ်း N၊ ၵၢၼ်ၸၢႆး ယႂ်ႇၶိုၼ်ႈ ၸွမ်း √N။ ပေႃး N ဢေႇ ၵၢၼ်ၸၢႆး ယႂ်ႇလိူဝ် လႄႈ ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ မိူၼ် ၵၢၼ်တဵၵ်း ငိုၼ်းႁိၼ် ဢၼ် ဢဵင်ႇ ဢိတ်းၼိုင်ႈ။ ပေႃး N ၼမ် ငိုၼ်းသုမ်း လႅၼ်ႈ ပူၼ်ႉ ၵၢၼ်ၸၢႆး။ ၸုတ်း ဢၼ် ငိုၼ်းသုမ်းဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈ ပဵၼ် မိူၼ် ၵၢၼ်ၵႆၵၢင် မၢတ်ႇတႃၼ်ၵၢၼ်ၼပ်ႉၵၢၼ်ၵႆၵၢင် မၢတ်ႇတႃၼ်ႁၢၵ်ႈ ၶွင် ၵၢၼ်ပိူင်ႈပႅၵ်ႇ၊ တၢင်းၵႆ ထမ်ႇမတႃႇ ၶွင် ၽွၼ်း တီႈ ၵႃႈဢၼ်ပႂ်ႉလႆႈ။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → ၼိုင်ႈဢၼ် ယူႇ တီႈ N = (σ/ၽွၼ်းလီ)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ တႃႇ ပၼ်ပဵင်းၵၼ် လႄႈ (5.84/0.027)² ≈ 46,800 တႃႇ တူဝ်လဵဝ်ၵၢၼ်ဝၢင်းၵၢၼ်ဝၢင်းတူဝ်လဵဝ်တူဝ်ၼပ်ႉ ဢၼ်လဵဝ်၊ ပၼ် 35:1။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း →။ တႅမ်ႇလိူဝ် တူဝ်ၼပ်ႉ ၼၼ်ႉ ၵၢၼ်ၸုမ်ႉ မၵ်းမၼ်ႈ၊ သုင်လိူဝ် မၼ်း ၽွၼ်းလီ မၵ်းမၼ်ႈ။
လၢႆးၸႂ်ႉ
တႃႇ တတ်းသိၼ် ဝႃႈ ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ဢၼ်ၼိုင်ႈ ပႅၵ်ႇ ႁိုဝ် ဢမ်ႇပႅၵ်ႇ ၼပ်ႉ (ၽွၼ်း − EV)/σ။ ၵူၼ်းဝၢင်း လႅင် $10 ဢၼ် ယဝ်ႉ 100 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ တီႈ +$150 ယူႇ တီႈ (150 + 27)/100 = 1.77σ၊ ၽွၼ်း ၼိုင်ႈ ၼႂ်း 25: မီးၵုသူဝ်ႇ၊ ဢမ်ႇၸႂ်ႈ လွင်ႈ ပႅၵ်ႇပိူင်။ ၵူၼ်းဝၢင်း တူဝ်လဵဝ် တီႈ +$150 လဵဝ်ၵၼ် ယူႇ တီႈ 0.3σ: ၶမ်ႈ ထမ်ႇမတႃႇ။ ၽွၼ်း ၻေႃႇလႃႇ လဵဝ်ၵၼ် ပွင်ႇ ပႅၵ်ႇၵၼ် ၼိူဝ် ၵၢၼ်ဝၢင်း ဢၼ်ပႅၵ်ႇၵၼ်။
ၵၢၼ်ၽိတ်း မၢတ်ႇတႃၼ် ၶွင် သဵၼ်ႈတၢင်း
ၵၢၼ်ၼပ်ႉ လဵဝ်ၵၼ် လၢတ်ႈ ပၼ်ဝႃႈ လူဝ်ႇ ပွၵ်ႈပၼ်ႇ ၵႃႈႁိုဝ် တႃႇ ႁၼ် ၽွၼ်းလီ ၼႂ်း ၶေႃႈမုၼ်း။ ၵၢၼ်ၽိတ်း မၢတ်ႇတႃၼ် ၶွင် သဵၼ်ႈတၢင်း ၵၢၼ်လႆႈ ဢၼ်တူၺ်းႁၼ် ပဵၼ် √(p(1 − p)/N)။ တႃႇ လႅင် ပေႃး N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%။ ၵၢၼ်ပႅၵ်ႇ ၼႂ်းၵႄႈ ငိုၼ်းႁိၼ် ပဵင်း လႄႈ လႅင် ပဵၼ် 1.35%၊ ၵွပ်ႈၼၼ် ဝၢႆး 1,000 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ ၸဝ်ႈၵဝ်ႇ ယင်း ဢမ်ႇၸၢင်ႈ ၸႅၵ်ႇ ၶဝ် ဢွၵ်ႇ လူၺ်ႈ ၵၢၼ်ၼႄႉၸႂ်။ ဝၢႆး 10,000 ပွၵ်ႈ ၵၢၼ်ၽိတ်း မၢတ်ႇတႃၼ် ပဵၼ် 0.5% လႄႈ ၸဝ်ႈၵဝ်ႇ ၸၢင်ႈ ၸႅၵ်ႇလႆႈ။ ဢၼ်ၼႆႉ ပဵၼ် ၵွပ်ႈသင် ၵၢၼ်ႁႃႁၼ် လေႃဢဵင်ႇ လူဝ်ႇ ပွၵ်ႈပၼ်ႇ ၼမ်ၼႃႇ ၸွမ်း။
ၵၢၼ်တၵ်းတိုၼ်ႇ လွင်ႈ ၵၢၼ်ဢဵင်ႇ
ၽွၼ်း တူဝ်လဵဝ် ၵႆ တီႈ ၵၢၼ်ၸႅၵ်ႇ normal ၼႂ်း ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ပွတ်း: ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ၵမ်ႉၼမ် ပဵၼ် −$10 ၵူႈ ပွၵ်ႈပၼ်ႇ ယူႇ တႃႇသေႇ လႄႈ ၵမ်ႈၽွင်ႈ ၵိုတ်း ၶိုၼ်ႈ +$350။ ပိူင် ±1σ လၢတ်ႈ ၵၢၼ်ၸၢႆး မၢၼ်ႇ ၵူၺ်းၵႃႈ လၢတ်ႈ ႁၢင်ႈ ဢမ်ႇလီ တေႃႇ N ပဵၼ် လၢႆႁဵဝ်ႉ။ တႃႇ ၵၢၼ်ဝၢင်းပၼ်ပဵင်းၵၼ်ၵၢၼ်ဝၢင်းၵၢၼ်ဝၢင်းပၼ်ပဵင်းၵၼ်လႅင်/လမ်၊ ၶီႈ/ၵူႈ၊ သုင်/တႅမ်ႇ။ 18 တူဝ်၊ ပၼ် 1:1။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → ၵၢၼ်ၼပ်ႉ ၸမ် normal လီယူႇ တႄႇ ၸမ် 30 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ။
ပိူင်ၼပ်ႉ
ၶေႃႈထၢမ်
မၼ်း ပဵၼ် ၶေႃႈၸႅၵ်ႈ ဝႃႈ ၸဝ်ႈၵဝ်ႇ လဵၼ်ႈ ၸမ် 40 ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ၊ ဢမ်ႇၼၼ် ပဵၼ် ဢၼ် မီးၵုသူဝ်ႇ ၼိုင်ႈ ၼႂ်း သီႇသိပ်း။ ႁဵတ်း ထႅင်ႈ ၸမ်တူၺ်း။
မၼ်း ၶိုၼ်ႈလူင်း ဢေႇလူင်း ဢေႇလူင်း: ၵၢၼ်ၽိတ်း မၢတ်ႇတႃၼ် ၶွင် ၵႃႈၵၢင် ပဵၼ် σ/√N။ မိူဝ်ႈ N = 10,000 မၼ်း ပဵၼ် 1% ၶွင် ငိုၼ်းဝၢင်း။
ၵၢၼ်ၼပ်ႉ ဢၼ်မူၼ်ႈ
ၸၢမ်းႁဵတ်းႁင်းၵူၺ်း ဢွၼ်တၢင်း။ လၢႆးၵႄႈ ၵူႈဢၼ် ပိၵ်ႉဝႆႉ၊ ပိုတ်ႇတူၺ်း မိူဝ်ႈၸဝ်ႈၵဝ်ႇ ႁႅမ်ႉယဝ်ႉ။
ၼႂ်း 100 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ ၶွင် လေႃ ယူးရူပ်ႉ၊ ၼိုင်ႈ ယူႇၼိတ်ႉငိုၼ်းယူႇၼိတ်ႉငိုၼ်းဝၢင်း ႁၢၵ်ႈ ဢၼ် ပိူင်ဝၢင်း ဢမ်ႇၼၼ် ၵူၼ်းလဵၼ်ႈ ၸႂ်ႉ။ ပိူင်ဝၢင်းယႂ်ႇၶိုၼ်ႈ လၢတ်ႈ ပဵၼ် ယူႇၼိတ်ႉ ႁႂ်ႈ ၸႂ်ႉလႆႈ တီႈ ၽိင်ႇ လႂ် ၵေႃႈ။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → ၼိူဝ် လႅင်ၵၢၼ်ဝၢင်းလႅင်ၵၢၼ်ဝၢင်းပၼ်ပဵင်းၵၼ် ၼိူဝ် တူဝ်ၼပ်ႉလႅင် 18 တူဝ်။ ၾရၢင်ႇသဵတ်ႈ: rouge။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → လိူဝ်ယူႇ တင်း ပွၵ်ႈလႆႈ ယၢင်ႈၵဵဝ်ႇ 51၊ လႄႈ ၼိုင်ႈ ယူႇၼိတ်ႉ ၼိူဝ် ၵၢၼ်ဝၢင်းတူဝ်လဵဝ်ၵၢၼ်ဝၢင်းၵၢၼ်ဝၢင်းတူဝ်လဵဝ်တူဝ်ၼပ်ႉ ဢၼ်လဵဝ်၊ ပၼ် 35:1။ဢၢၼ်ႇ တင်းမူတ်း → လိူဝ်ယူႇ သင် တူဝ်ၼပ်ႉ မၼ်း ဢွၵ်ႇ ယၢင်ႈၵဵဝ်ႇ 3 ပွၵ်ႈ။ ၸႂ်ႉ သဵၼ်ႈၵွင်ႈ ႁၢင်ႈမၢၵ်ႇလၵ်ႉ တႃႇ ၼပ်ႉၵႅၼ်ႇ ၵၢၼ်ၸၢင်ႈပဵၼ် တင်းသွင်၊ ယဝ်ႉ တႅၵ်ႈ တင်း ၶေႃႈတွပ်ႇ ဢၼ်ထူၼ်ႈ။
ၼႄ လၢႆးၵႄႈ
ၶေႃႈတွပ်ႇ လႅင်: သဵၼ်ႈၵွင်ႈ ပၼ် 35.6% လႄႈ ၶေႃႈတွပ်ႇ ဢၼ်ထူၼ်ႈ ပဵၼ် 35.5%။ ၵၢၼ်ဝၢင်းတူဝ်လဵဝ်: သဵၼ်ႈၵွင်ႈ ပၼ် 55.0% လႄႈ ၶေႃႈတွပ်ႇ ဢၼ်ထူၼ်ႈ ပဵၼ် 50.9%။ တၢင်းလပ်း ၼႆႉ ၸႂ်ႉလႆႈ တွၼ်ႈတႃႇ လႅင် လႄႈ ၽိတ်း တွၼ်ႈတႃႇ တူဝ်ၼပ်ႉ ၼိုင်ႈတူဝ်။
လႅင်: ပွၵ်ႈလႆႈ ၵႃႈၵၢင် 100 × 18/37 = 48.6၊ တင်း ၵၢၼ်ၽႄႈ √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0။ လိူဝ်ယူႇ ပွင်ႇဝႃႈ 51 ဢမ်ႇၼၼ် လိူဝ်ၼၼ်ႉ၊ မၢႆၵိုင်ႇ၊ 50.5၊ သုင်လိူဝ် ၵႃႈၵၢင် 0.37 ၵၢၼ်ၽႄႈ၊ လႄႈ သဵၼ်ႈၵွင်ႈ ဝႆႉ 35.6% ၽၢႆႇၼိူဝ်ၼၼ်ႉ။ ၵၢၼ်ႁူမ်ႈ ၵၢၼ်ၸၢင်ႈပဵၼ် ဢၼ်ထူၼ်ႈ ၶွင် 51၊ 52 … 100 ပွၵ်ႈလႆႈ ပၼ် 35.5%။
ၵၢၼ်ဝၢင်းတူဝ်လဵဝ်: ပွၵ်ႈထုၵ်ႇ ၵႃႈၵၢင် 100/37 = 2.70၊ တင်း ၵၢၼ်ၽႄႈ √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62။ ထုၵ်ႇ သၢမ်ပွၵ်ႈ ဢမ်ႇၼၼ် လိူဝ်ၼၼ်ႉ ပွင်ႇဝႃႈ လိူဝ် 2.5၊ တႅမ်ႇလိူဝ် ၵႃႈၵၢင် 0.12 ၵၢၼ်ၽႄႈ: 55.0% ၸွမ်း သဵၼ်ႈၵွင်ႈ။ ထူၼ်ႈထူၼ်ႈ မၼ်းပဵၼ် 1 ထွၼ် ၵၢၼ်ၸၢင်ႈပဵၼ် ၶွင် 0၊ 1 လႄႈ 2 ပွၵ်ႈထုၵ်ႇ၊ 6.5% + 17.9% + 24.7%၊ ဢၼ်ဝႆႉ 50.9%။
သဵၼ်ႈၵွင်ႈ လူဝ်ႇ ၽွၼ်း ၼမ် တင်းသွင်ၽၢႆႇ ၶွင် ၵႃႈၵၢင်။ လႅင် မီး ဝၢႆး 100 ပွၵ်ႈပၼ်ႇ၊ တူဝ်ၼပ်ႉ ဢၼ်ထုၵ်ႇ ဢေႇလိူဝ် သၢမ်ပွၵ်ႈ ၸွမ်းၵႃႈၵၢင် ဢမ်ႇမီး။ သဵၼ်ႈၵွင်ႈ ပၼ် 8.7% ပၼ် “ဢမ်ႇထုၵ်ႇ” ၵမ်းလဵဝ်၊ တီႈ ၵၢၼ်ၸၢင်ႈပဵၼ်တႄႉ ပဵၼ် 6.5%။ Taylor (2021) ဝႆႉ binomial လႄႈ သဵၼ်ႈၵွင်ႈ ၵဵင်ႇၵၼ် ပိူင်လဵဝ်ၵၼ်။
ႁၢင်ႈၶႅၼ်ႈ ပၼ်ၶူဝ်
ၶၢဝ်းလဵၼ်ႈ ၼိုင်ႈ ၼႂ်း သၢဝ်း ယူႇ ၼွၵ်ႈ သွင် sigma။ မီး ၵူၼ်း ယူႇ တီႈ ႁၢင် တႃႇသေႇ။
ငဝ်ႈငႃႇ ၶေႃႈမုၼ်း
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.